Question

10．在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是正三角形，侧棱AA′⊥底面ABC，若该三棱柱各棱长相等，则直线A′C与平面BCC′B′所成角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A′C与平面BCC′B′所成角的正弦值．

解答 解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，
设该三棱柱各棱长为2，
则A′（0，0，2），C（0，2，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C′（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}^{'}C}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设直线A′C与平面BCC′B′所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}C}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故直线A′C与平面BCC′B′所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．