Question

2．已知函数f（x）=-x³+ax-$\frac{1}{4}$．
（1）若a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）试讨论函数f（x）在区间x∈（-∞，1]上的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）把a=3代入函数解析式，求导后分别由导函数大于0和小于0求得函数f（x）的单调区间；
（2）求出原函数的导函数，然后对a分类讨论，当a≤0时，可得f（x）在区间（-∞，1]上有唯一零点；当a＞0时，令f′（x）-3x²+a=0，解得${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$．则$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函数f（x）的一个极小值点，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是函数f（x）的一个极大值点，可得$f（-\sqrt{\frac{a}{3}}）=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$，然后分$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）＜0$，f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=0和f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）＞0讨论得答案．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，f（x）在（-1，1）上单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞1，f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减．
（2）f′（x）=-3x²+a，
当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在区间（-∞，1]上单调递减，且过点（0，-$\frac{1}{4}$），f（-1）=$\frac{3}{4}-a$＞0，
∴f（x）在区间（-∞，1]上有唯一零点；
当a＞0时，令f′（x）-3x²+a=0，解得${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$．
则$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函数f（x）的一个极小值点，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是函数f（x）的一个极大值点，
而$f（-\sqrt{\frac{a}{3}}）=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$，
当$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）＜0$，即a$＜\frac{3}{4}$时，函数y=f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此时y=f（x）有一个零点；
当f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=0，即a=$\frac{3}{4}$时，函数y=f（x）在（0，1]上有一个零点${x}_{0}=\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{1}{2}$，此时y=f（x）有二个零点；
当f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）＞0，即a＞$\frac{3}{4}$时，若f（1）=a-$\frac{5}{4}$≤0，即a$≤\frac{5}{4}$，函数y=f（x）在（-∞，1]上有三个零点；
若f（1）=a-$\frac{5}{4}$＞0，即a＞$\frac{5}{4}$时，函数y=f（x）在（-∞，1]上有二个零点．
综上所述：当a＜$\frac{3}{4}$时，y=f（x）在区间x∈（-∞，1]上有一个零点；
当a=$\frac{3}{4}$或a＞$\frac{5}{4}$时，y=f（x）在区间x∈（-∞，1]上有二个零点；
当$\frac{3}{4}＜a≤\frac{5}{4}$时，y=f（x）在区间x∈（-∞，1]上有三个零点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性与根的个数判断，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．