Question

14．已知函数y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3ax 且函数过点（1，$\frac{4}{3}$），解答：
（1）求a；
（2）判断函数的单调性；
（3）求函数的极值．

Answer 1

分析 （1）将点的坐标代入函数的解析式求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性求出函数的极值即可．

解答 解：（1）将（1，$\frac{4}{3}$）代入y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3ax，
得：a=1，
（2）由（1）y=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，
y′=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
令y′＞0，解得：x＞3或x＜1，
令y′＜0，解得：1＜x＜3，
故函数在（-∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增；
（3）由（2）y_极大值=y|_x=1=$\frac{4}{3}$，y_极小值=y|_x=3=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．