Question

9．以下函数，在区间[3，5]内存在零点的是（　　）

• A． f（x）=-x³-3x+5
• B． f（x）=2^x-4
• C． f（x）=2xln（x-2）-3
• D． f（x）=-$\frac{1}{x}$+2

Answer 1

分析 根据题意，依次分析选项，分析所给函数的单调性进而由函数的零点判定定理分析可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项：
对于A、f（x）=-x³-3x+5，其导数f′（x）=-3x²-3＜0
则f（x）单调递减，又f（3）=-27-9+5-31＜0，
即函数f（x）在[3，5]中最大值小于0，
∴在[3，5]上不存在x使得f（x）=0，即没有零点，不合题意；
对于B、f（x）=2^x-4为单调增函数，
又f（3）=8-4=4＞0，
即函数f（x）在区间[3，5]中最小值大于0，
故在[3、5]上不存在x使得f（x）=0，即没有零点，不合题意；
对于C、f（x）=2xl_n（x-2）-3
f（3）=-3＜0 f（5）=10ln3-3＞0
f（3）f（5）＜0
根据零点存在性定理，f（x）=2xl_n（x-2）-3在[3、5]上有零点，符合题意；
对于D、f（x）=-$\frac{1}{x}$+2，在[3，5]单调递增，
且f（3）=$\frac{5}{3}$＞0，即f（x）=-$\frac{1}{x}$+2在[3、5]中最小值大于0，
在[3，5]上不存在x使得f（x）=0，即没有零点不合题意；
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，属于基础题．