Question

4．为选拔参加“全市高中数学竞赛”的选手，某中学举行了一次“数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值并求出抽取学生的平均分
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生在随机抽取2名学生参加“全市高中数学竞赛”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出得分在[50，60）的频率为0.16，由茎叶图得[50，60）的频数为4，由此能求出样本容量，由茎叶图得[90，100）的频率为2，由此利用频率分布直方图能求出频率分布直方图中x，y的值及抽取学生的平均分．
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生有5人，其中得分在[80，90）内的学生有3人，得分在[90，100）内的学生有2人，由此能求出所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得得分在[50，60）的频率为0.016×10=0.16，
由茎叶图得[50，60）的频数为4，
∴样本容量n=$\frac{4}{0.16}$=25．
由茎叶图得[90，100）的频率为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（0.016+x+0.040+0.012+y）×10=1}\\{y=\frac{2}{25×10}}\end{array}\right.$，
解得x=0.024，y=0.008．
抽取学生的平均分为：
$\overline{x}$=55×0.016×10+65×0.024×10+75×0.040×10+85×0.012×10+95×0.008×10=72.2．
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生有25（0.012×10+0.008×10）=5人，
其中得分在[80，90）内的学生有3人，得分在[90，100）内的学生有2人，
从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生在随机抽取2名学生参加“全市高中数学竞赛”，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]的对立事件是抽取的两人得分都在[80，90）内，
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]的概率：p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．