Question

15．若曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m为参数），曲线C₂的极坐标方程（以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴）为：ρ=4sinθ，若曲线C₁与C₂有公共点，则实数a的取值范围是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m为参数），消去参数化为普通方程：x+2y-2a=0．曲线C₂的极坐标方程为：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，再利用直线与圆的位置关系即可得出．

解答 解：曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m为参数），消去参数化为普通方程：x+2y-2a=0．
曲线C₂的极坐标方程为：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4y，配方为x²+（y-2）²=4，
可得圆心C₂（0，2），半径r=2、
∵曲线C₁与C₂有公共点，则$\frac{|0+4-2a|}{\sqrt{5}}$≤2，解得：2-$\sqrt{5}$≤a≤2+$\sqrt{5}$．
∴实数a的取值范围是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．
故答案为：[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．