Question

16．已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．（n∈N^*）
（1）求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜测a_n的表达式，并用数学归纳法证明所得结论．

Answer 1

分析 （1）根据S_n+a_n=2n+1，代入即可求出a₁，a₂，a₃．
（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）由a₁+a₁=2+1，得a₁=$\frac{3}{2}$，
由a₁+a₂+a₂=2×2+1，得a₂=$\frac{7}{4}$，
同理a₃=$\frac{15}{8}$．
（2）猜测a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）
证明：①由（1）当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}$命题成立；
②假设n=k时，a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$成立，
则n=k+1时，由已知S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=2k+3，
把S_k=2k+1-a_k及a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$代入化简a_k+1=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
即n=k+1时，命题成立．
由①②得a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．