Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|与|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）求$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的模长公式计算|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|与|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）根据平面向量的夹角公式计算$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角大小．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2×1×2×cos60°+4=3，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$；
又${（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4×1-4×1×2×cos60°+4=4，
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2；
（2）∵（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2×1+3×1×2×cos60°-4=-3，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|×|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ=150°．

点评 本题考查了平面向量数量积与模长公式、夹角大小的计算问题，是基础题．