Question

1．已知定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象如图所示，则函数y=e^-xf（x）的减区间为（　　）

• A． （0，1），（4，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0），（1，4）

Answer 1

分析 由图结合函数单调性与导函数符号间的关系可得在（-∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在（0，$\frac{4}{3}$）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（$\frac{4}{3}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．从而求得在不同区间内f′（x）-f（x）的符号，对函数y=e^-xf（x）求导得答案．

解答 解：由图可知，在（-∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在（0，$\frac{4}{3}$）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（$\frac{4}{3}$，+∞）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）-f（x）＜0；
当x∈（0，1）时f′（x）-f（x）＞0；
当x∈（1，4）时，f′（x）-f（x）＜0；
当x∈（4，+∞）时，f′（x）-f（x）＞0．
∵y=e^-xf（x），∴y′=e^-x（f′（x）-f（x））．
则当x∈（-∞，0）或x∈（1，4）时，y′＜0．
∴函数y=e^-xf（x）的减区间为（-∞，0），（1，4）．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．