Question

18．将圆x²+y²=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{4}$，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：4x+y+1=0与C的交点为P₁，P₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁ P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由坐标变换公式$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{4}x\\ y'=y.\end{array}\right.$，得x=4x'，y=y'，代入x²+y²=1，能求出曲线C的参数方程．
（Ⅱ）由题知，${P_1}（-\frac{1}{4}，0），{P_2}（0，-1）$，从而线段P₁ P₂中点$M（-\frac{1}{8}，-\frac{1}{2}）$，由直线l的斜率k=-4，得线段P₁ P₂的中垂线斜率为$\frac{1}{4}$，由此能求出线段P₁ P₂的中垂线的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）由坐标变换公式$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{4}x\\ y'=y.\end{array}\right.$得x=4x'，y=y'--------------------------------------（2分）
代入x²+y²=1中得16x'²+y'²=1，----------------------------------------------------------------------（3分）
故曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}cosθ\\ y=sinθ.\end{array}\right.$（θ为参数）．-----------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）由题知，${P_1}（-\frac{1}{4}，0），{P_2}（0，-1）$，---------------------------------------------------------------------（6分）
故线段P₁ P₂中点$M（-\frac{1}{8}，-\frac{1}{2}）$，-----------------------------------------------------------------------------（7分）
∵直线l的斜率k=-4∴线段P₁ P₂的中垂线斜率为$\frac{1}{4}$，
故线段P₁ P₂的中垂线的方程为$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}（x+\frac{1}{8}）$--------------------------------------------------------（8分）
即8x-32y-15=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
其极坐标方程为8ρcosθ-32ρsinθ-15=0．---------------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查曲线的参数方程、线段中垂线的极坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．