Question

8．已知函数 f（x）=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （I）化 函数 f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的值域．

解答 解：（I） 函数 f（x）=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）
=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数恒等变换的应用问题，是中档题．