Question

18．以下命题：
①y=x+$\frac{1}{x}$≥2，
②若a＞0，b＞0且a+b=2，则ab≤1，
③$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$的最小值为4
④a∈R，a²+1＞2a．
其中正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 ①x＞0时y=x+$\frac{1}{x}$≥2，x＜0时y=x+$\frac{1}{x}$≤-2；
②利用基本不等式得出ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=1；
③利用基本不等式得出$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$≥4；
④举例说明a=1时a²+1=2a．

解答 解：对于①，x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取“=”；
x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$=-2，当且仅当x=-1时取“=”；∴①错误；
对于②，a＞0，b＞0且a+b=2时，
ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=1，当且仅当a=b=1时取“=”，∴②正确；
对于③，$\sqrt{x}$+$\frac{4}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$=4，当且仅当$\sqrt{x}$=2时取“=”，∴③正确；
对于④，a=1时，a²+1=2a=2，∴④错误；
综上，正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．

点评 本题利用命题真假的判断考查了基本不等式的应用问题，是综合题．