Question

3．已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sin（πx），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9．

Answer 1

分析 由题意知当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sin（πx），求出f（x）=0的根，再由条件和奇函数的性质，求出一个周期[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]内函数零点的个数，根据f（x）是定义域为R的周期为3函数，求得f（$\frac{3}{2}$）=0，根据周期性进行求出在区间[0，6]上的零点即可．

解答 解：由题意得当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sin（πx），
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
可得f（x+3）=f（x），
有f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
又函数f（x）是定义域为R的奇函数，
可得f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），
求得f（$\frac{3}{2}$）=0，
可得在区间[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上有f（-1）=f（1）=f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=0，且f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，$\frac{3}{2}$，2，3，4，$\frac{9}{2}$，5，6，共9个．
故答案为：9．

点评 本题考查了函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键结论“若奇函数经过原点，则必有f（0）=0”应用，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，若区间为半开半闭区间，则答案为8个，故要注意对端点的分析．