Question

8．命题p：数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn+c（a≠0）；命题q：数列{a_n}是等差数列．则p是q的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据等差数列前n项和的公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn+c-[a（n-1）²+b（n-1）+c]=an²+bn+c-a（n-1）²-b（n-1）-c=2an+a+b，
当n=1时，a₁=S₁=a+b+c不满足a_n=2an+a+b，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c，}&{n=1}\\{2an+a+b，}&{n≥2}\end{array}\right.$，则数列{a_n}不是等差数列，即充分性不成立，
若{a_n}是等差数列，当d=0时，则S_n=na₁，不满足S_n=an²+bn+c（a≠0），即必要性不成立，
即p是q的既不充分也不必要条件，
故选：D

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键．