Question

16．平面中，如果一个凸起多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S，周长c与内切圆半径r之间的关系为S=$\frac{1}{2}$cr，类比这个结论，空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V，表面积S′，球半径R之间的关系是V=$\frac{1}{3}S′R$．

Answer 1

分析 由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．

解答 解：类比平面中凸多边形的面积的求法，将空间凸多面体的内切球球心与各个顶点连接起来，将凸多面体分割成若干个小棱锥，每个棱锥都以多面体的面为底面，以内切球的半径为高，从而
V=$\frac{1}{3}{S}_{1}R+\frac{1}{3}{S}_{2}R+…+\frac{1}{3}{S}_{n}R$=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}）R$
=$\frac{1}{3}S′R$（S₁，S₂，…，S_n为凸多面体的各个面的面积）．
故答案为：V=$\frac{1}{3}S′R$．

点评 本题主要考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），属于基础题．