Question

11．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为32π

Answer 1

分析 由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．

解答 解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，

用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积 S=π（4²-4|y|），
S₁=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，
∵Γ₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{4π}{3}$×（4³-2³-2³）=$\frac{2π}{3}$×48=32π，
∴Γ=32π．
故答案为：32π．

点评 本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于中档题．