Question

6．若曲线f（x）=lnx-（a+1）x存在与直线x-2y+1=0垂直的切线，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数f（x）=lnx-（a+1）x的导函数，结合与直线x-2y+1=0垂直的切线斜率为-2，可得$\frac{1}{x}$-a-1=-2有大于0的解，分离参数，求出实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=lnx-（a+1）x，x＞0，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-1，
若函数f（x）存在与直线x-2y+1=0垂直的切线，
可得$\frac{1}{x}$-a-1=-2有大于0的解，
则$\frac{1}{x}$=a-1＞0，
解得a＞1，
则实数a的取值范围是（1，+∞），
故选C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题．