Question

1．函数f（x）=xlnx，g（x）=ax²-（2a-1）x，若f（x）-g（x）有极大值点x=1，则实数a的取值范围（　　）

• A． a＞$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• C． a＜$\frac{1}{2}$
• D． a＞1

Answer 1

分析 分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，
h′（x）=lnx-2ax+2a，
∵f（x）-g（x）在x=1处取得极大值，∴h′（1）=0，
①当a≤0时，h（x）单调递增，
则当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）在x=1处取得极小值，不合题意，
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2a}$＞1，由（1）知，f′（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）内单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜$\frac{1}{2a}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，$\frac{1}{2a}$）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
③当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2a}$=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
④当a＞$\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{1}{2a}$＜1，
当$\frac{1}{2a}$＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．
综上实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$；
故选：A．

点评 本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．