Question

14．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}x（x＞0）}\\{|4x+1|（x≤0）}\end{array}\right.$，有f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，则（a+b+c）c的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [0，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{1}{16}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 作出分段函数f（x）的图象，由对称性可得a+b=-$\frac{1}{2}$，观察可得$\frac{1}{2}$≤c＜1，再由二次函数的最值求法，可得所求范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}x（x＞0）}\\{|4x+1|（x≤0）}\end{array}\right.$，
有f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，
由右边的图象，则a，b关于x=-$\frac{1}{4}$对称，
可得a+b=2×（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，
由1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得x=$\frac{1}{2}$，
由题意可得$\frac{1}{2}$≤c＜1，
即有（a+b+c）c=c（c-$\frac{1}{2}$）
=c²-$\frac{1}{2}$c=（c-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，
可得在[$\frac{1}{2}$，1）递增，
即有（a+b+c）c∈[0，$\frac{1}{2}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力，属于中档题．