Question

4．已知a∈R，函数f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）当a=-5时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0，若对任意t∈[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x）得到关于x的不等式，解出即可；
（2）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）a=-5时，f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$-5），
令f（x）＞0，即$\frac{1}{x}$-5＞1，0＜x＜$\frac{1}{6}$，
故不等式的解集是（0，$\frac{1}{6}$）；
（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）-f（t+1）≤1，
即log₂（$\frac{1}{t}$+a）-log₂（ $\frac{1}{t+1}$+a）≤1，
即$\frac{1}{t}$+a≤2（ $\frac{1}{t+1}$+a），即a≥$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{t+1}$=$\frac{1-t}{t（t+1）}$，
设1-t=r，则0≤r≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1-t}{t（t+1）}$=$\frac{r}{（1-r）（2-r）}$=$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$，
当r=0时，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=0，
当0＜r≤$\frac{1}{2}$时，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$，
∵y=r+$\frac{2}{r}$在（0，$\sqrt{2}$）上递减，
∴r+$\frac{2}{r}$≥$\frac{1}{2}$+4=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$≤$\frac{1}{\frac{9}{2}-3}$=$\frac{2}{3}$，
∴实数a的取值范围是a≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．