Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹（n=2，3，4…）
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹、令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，计算、整理可得b_n+1-b_n=3，进而可得结论；
（2）通过（1）可知数列{b_n}的通项公式，利用b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$计算可得结论；
（3）通过=（3n-2）•3ⁿ写出S_n、3S_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n=3a_n-1+3ⁿ⁺¹（n=2，3，4…），
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，上式化为：
∴b_n=b_n-1+3，
即b_n+1-b_n=3，
∴数列{b_n}是公差为3的等差数列；
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差数列；
（2）解：∵a₁=3，
∴b₁=$\frac{{a}_{1}}{3}$=1，
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=3ⁿ•b_n=（3n-2）•3ⁿ；
（3）解：∵a_n=（3n-2）•3ⁿ，
∴S_n=1•3¹+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
3S_n=1•3²+4•3³+7•3⁴+…+（3n-2）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2S_n=1•3¹+3•3²+3•3³+…+3•3ⁿ-（3n-2）•3ⁿ⁺¹=3+$\frac{{3}^{3}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-2）•3ⁿ⁺¹
解得：S_n=（$\frac{9}{2}$n-$\frac{21}{4}$）•3ⁿ+$\frac{21}{4}$，
∴S_n=（$\frac{9}{2}$n-$\frac{21}{4}$）•3ⁿ+$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．