Question

9．给出下列四个命题
①若a＞b＞0，则a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$；
②$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2；
③不等式$\frac{1}{x}$＜1的解集是（-∞，0）∪（1，+∞）；
④若b＞a＞0，则a＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$＜b．其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用不等式的性质判断①④正确；令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t$（t$≥\sqrt{2}$）换元，利用对勾函数的单调性求出函数的值域判断②；求解分式不等式判断③．

解答 解：①若a＞b＞0，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，∴$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$，
∴a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$，故①正确；
②令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t$（t$≥\sqrt{2}$），函数y=t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数，
∴${y}_{min}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故②错误；
③由$\frac{1}{x}$＜1，得$\frac{1}{x}-1＜0$，即$\frac{x-1}{x}＞0$，解得x＜0或x＞1，
∴不等式$\frac{1}{x}$＜1的解集是（-∞，0）∪（1，+∞），故③正确；
④若b＞a＞0，则b＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$$＞\sqrt{{a}^{2}}=a$，
∴a＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$＜b，故④正确．
∴正确命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查不等式的性质，训练了分式不等式的解法，是中档题．