Question

10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． $\frac{26π}{3}$
• D． $\frac{{32\sqrt{3}π}}{27}$

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，即可求出它的表面积．

解答 解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为$\sqrt{3}$的三棱锥；
且该几何体的外接球球心在侧视图高上，如图所示；
设球心为O，半径为r，
则${r}^{2}=（\sqrt{3}-r）^{2}$+1，可得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴所以V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}π}{27}$．
故选：D

点评 本题考查了三棱锥的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．