Question

16．设f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤2x的解集；
（2）若不等式f（x）≥$\frac{{|{2a+1}|-|{a-1}|}}{|a|}$对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，-1＜x＜1，x≤-1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；
（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．

解答 解：（1）f（x）≤2x，即|x-1|+|x+1|≤2x，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+1≤2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x+x+1≤2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{1-x-x-1≤2x}\end{array}\right.$，
解得：x≥1，
故不等式的解集是[1，+∞）；
（2）$\frac{|2a+1|-|a-1|}{|a|}$=|2+$\frac{1}{a}$|-|1-$\frac{1}{a}$|≤|2+$\frac{1}{a}$+1-$\frac{1}{a}$|=3，
当且仅当（2+$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{a}$）≤0时，取等号．
由不等式f（x）≥$\frac{{|{2a+1}|-|{a-1}|}}{|a|}$对任意实数a≠0恒成立，
可得|x-1|+|x+1|≥3，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x≥3}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{2≥3}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x≥3}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{3}{2}$，
故实数x的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．