Question

11．已知三棱锥A-BCD，E为BD的中点，AE⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=1，且三棱锥A-BCD的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$，则三棱锥A-BCD的体积为$\frac{2+\sqrt{2}}{12}$或$\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，然后分类求解三棱锥的高，则答案可求．

解答 解：如图，

由三棱锥A-BCD的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$，可得其外接球的半径R=1．
∵底面BCD是等腰直角三角形，且BC=CD=1，则BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
若外接球的球心O在线段AE上，则$（AE-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}={1}^{2}$，解得AE=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2+\sqrt{2}}{12}$；
若外接球的球心O′在线段AE的延长线上，则$（1-AE）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}={1}^{2}$，解得AE=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{2}}{12}$或$\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，体现了分类讨论与数形结合的解题思想方法，是中档题．