Question

5．已知圆M的方程是x²-6x+y²-16=0．
（Ⅰ）圆M的半径是5；
（Ⅱ）设斜率为k（k＞0）的直线l交圆M于A（-2，0）和点B，交y轴于点C．如果△MBC的面积是4k，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接化圆的一般方程为标准方程得答案；
（Ⅱ）分别设出B，C的坐标与直线方程，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系把△MBC的面积转化为含有k的式子求解．

解答 解：（Ⅰ）由x²-6x+y²-16=0，得（x-3）²+y²=25，
∴圆M的半径是5．
故答案为：5；
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），C（0，y₁），直线l的方程为y=k（x+2）（k＞0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}-6x+{y}^{2}-16=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（4k²-6）x+4k²-16=0．
∴$-2{x}_{0}=\frac{4{k}^{2}-16}{1+{k}^{2}}$，即${x}_{0}=\frac{8-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
∴${y}_{0}=k（{x}_{0}+2）=k（\frac{8-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+2）=\frac{10k}{1+{k}^{2}}$．
在y=k（x+2）中，令x=0可得y₁=2k．
∴$S=\frac{1}{2}×5×|{y}_{1}-{y}_{0}|=\frac{1}{2}×5×|2k-\frac{10k}{1+{k}^{2}}|$=$5×|k-\frac{5k}{1+{k}^{2}}|$．
∵S=4k，且k＞0，
∴$5×|k-\frac{5k}{1+{k}^{2}}|=4k$，解得k=$2\sqrt{6}$或k=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．