Question

已知函数f（x）=x+1，设g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表达式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表达式（直接写出猜想结果）
（2）若关于x的函数在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．
（符号“”表示求和，例如：．）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表达式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表达式；
（2）根据（1）的结果代入求出，转化为二次函数利用配方法求最值，讨论对称轴是否在定义域内．
解答：解：（1）∵g₁（x）=f（x）=x+1，
∴g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想g_n（x）=x+n
（2）∵g_n（x）=x+n，
∴
∴
1°当，即n≤2时，函数在区间（-∞，-1]上是减函数∴当x=-1时，，即n²-n-10=0，该方程没有整数解
2°当，即n＞2时，，解得n=4，
综上所述，n=4
点评：此题是个中档题．考查代入法求函数的解析式、归纳法、和二次函数求最值的配方法等基本方法，体现了分类讨论的思想．很好的考查了学生的阅读能力和灵活应用知识分析解决问题的能力．