Question

已知函数f(x)＝e^x，x∈R.
(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；
(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx²(m>0)公共点的个数．

Answer 1

（1）k＝（2）若0<m<，曲线y＝f(x)与y＝mx²没有公共点；若m＝，曲线y＝f(x)与y＝mx²有一个公共点；若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx²有两个公共点

(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.
设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x₀，y₀)处相切，则有y₀＝kx₀＋1＝ln x₀，k＝g′(x₀)＝，
解得x₀＝e²，k＝.
(2)曲线y＝e^x与y＝mx²的公共点个数等于曲线y＝与直线y＝m的公共点个数．
令φ(x)＝，则φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.
当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增．
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.
综上所述，当x>0时，大致图像如图所示，

若0<m<，曲线y＝f(x)与y＝mx²没有公共点；
若m＝，曲线y＝f(x)与y＝mx²有一个公共点；
若m>，曲线y＝f(x)与y＝mx²有两个公共点