Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x），其中a＞0，a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）是否具有奇偶性，如果有，请给出证明；如果没有，请说明理由；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义即可求出，
（2）利用偶函数的定义即可证明
（3）需要分类讨论，根据函数的单调性即可求出．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x），
∴

1+x＞0 1-x＞0

，
解得，-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1），
（2）函数为偶函数，
理由如下：f（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=f（x），
故函数为偶函数．
（3）f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）=log_a（1-x²），
当a＞1时，函数f（x）在（-1，0）为增函数，在（0，1）上为减函数，
当x=0时，有最大值，最大值f（0）=0，无最小值，
当0＜a＜1时，函数f（x）在（-1，0）为减函数，在（0，1）上为增函数，
当x=0时，有最小值，最小值f（0）=0，无最大值，
综上所述，当a＞1时，值域为（-∞，0），
当0＜a＜1时，值域为（0，+∞）

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，判断函数的奇偶性的方法，属于中档题．