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    已知函数f（x）=
    x2
    1+x2
    ，
    （1）求f（2）+f（
    1
    2
    ）；f（3）+f（
    1
    3
    ）的值；  
    （2）猜想：f（x）+f（
    1
    x
    ）的值（不用证明）；
    （3）求f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（
    1
    2016
    ）+…+f（
    1
    4
    ）+f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    2
    ）的值．
    分析：（1）直接利用函数的表达式，求解f（2）+f（
    1
    2
    ）；f（3）+f（
    1
    3
    ）的值，即可．
    （2）通过（1）猜想f（x）+f（
    1
    x
    ）的值．
    （3）利用倒序相加法，借助（2）求出结果即可．
    解答：解：（1）∵函数f（x）=
    x2
    1+x2
    ，
    ∴f（2）+f（
    1
    2
    ）=
    22
    1+22
    +
    (
    1
    2
    )    2
    1+(
    1
    2
    )    2
    =
    4
    5
    +
    1
    4
    1+
    1
    4
    =1；
    f（3）+f（
    1
    3
    ）=
    32
    1+32
    +
    (
    1
    3
    )    2
    1+(
    1
    3
    )    2
    =
    9
    10
    +
    1
    9
    1+
    1
    9
    =1．
    （2）猜想f（x）+f（
    1
    x
    ）=1．
    （3）令S=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（
    1
    2016
    ）+…+f（
    1
    4
    ）+f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    2
    ）…①
    ∴S=f（
    1
    2
    ）+f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    4
    ）+…+f（
    1
    2016
    ）+f（2016）+f（2015）+…+f（3）+f（2）…②
    由f（x）+f（
    1
    x
    ）=1以及①+②得：
    2S=4030×1，
    S=2015．
    即f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（
    1
    2016
    ）+…+f（
    1
    4
    ）+f（
    1
    3
    ）+f（
    1
    2
    ）的值为：2015．
    点评：本题考查函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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