Question

【题目】椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M，当l的斜率为 时，|FM|= ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意∴ ），∴ ，

又∵ ，解得a2=3，b2=2．

∴椭圆C的方程为： ．

（2）

解：依题意直线l不垂直x轴，

当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）

则直线AB的方程为：y=﹣ ．

联立 ，得 ．

， …①．

设AB的中点为C，则xC= ．

点C在直线l上，∴ ，m=﹣2k﹣ …②

此时 与①矛盾，故k≠0时不成立．

当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，﹣y0） （x0＞0，y0＞0）

△AOB面积s= ．

∵ ，∴ ．．

∴△AOB面积的最大值为 ，当且仅当 时取等号．

【解析】（1）根据离心率及弦长构造方程组，求得a，b． （2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在．
当直线l的斜率k=0时，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0） （x0＞0，y0＞0）△AOB面积s= ．
由均值不等式求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．