Question

11．三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为9π．

Answer 1

分析 当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，V=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•1•PB•PC≤$\frac{1}{12}$（PB+PC）²=$\frac{4}{3}$，
当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，
则CD=2R，即PA²+PB²+PC²=4R²=9，可得R=$\frac{3}{2}$，
故球的表面积是：S=4π•$\frac{9}{4}$=9π，
故答案为：9π．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．