Question

16．下列命题：
①若α+β=$\frac{7π}{4}$，则（1-tanα）•（1-tanβ）=2；
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是λ＜1；
③已知O平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，λ∈（0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的重心；
④在△ABC所在的平面上有一点P，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AB}$，则△PBC与△ABC的面积之比是$\frac{1}{2}$．
其中真命题的序号为①③．

Answer 1

分析 ①利用和角的正切公式，即可得出结论；②当λ=-4时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，不符合；
③设BC的中点为D，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}$+2λ$\overrightarrow{OD}$，即可得出结论；
④解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，确定出2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CP}$，即点P是CA边上的第二个三等分点，由此问题可解．

解答 解：①因为α+β=$\frac{7π}{4}$，所以tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，所以，tanα+tanβ=-1+tanαtanβ
即：2=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=（1-tanα）（1-tanβ），故正确；
②∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，即2-2λ＞0，解得λ＜1；当λ=-4时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向，∴实数λ的取值范围是（-∞，-4）∪（-4，1），故不正确；
③设BC的中点为D，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}$+2λ$\overrightarrow{OD}$，则P的轨迹一定通过△ABC的重心，故正确；
④在△ABC所在的平面上有一点P，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，即2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CP}$，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故△PBC与△ABC的面积之比是2：3，故不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断，涉及和角的正切公式，向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．