Question

1．△ABC中，已知$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，且4|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|=12，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，E为∠C平分线CD的中点，点D为AB上的点，AE交BC于F，那么$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$=$-\frac{108}{35}$．

Answer 1

分析 根据条件可以得出CA⊥CB，且CA=3，CB=4，这样便可分别以CB，CA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，从而可以得出A，B，C三点的坐标，这样可求出直线AB的方程，而可得到直线CD的方程为y=x，这样便可求出直线AB和CD的交点D的坐标，进而便可得出点E的坐标，从而可得出直线AE的方程，进而便可得出直线AE和x轴的交点F的坐标，从而便可得出向量$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{CD}$的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
即CA⊥CB，且由$4|\overrightarrow{a}|=3|\overrightarrow{b}|=12$得，$|\overrightarrow{a}|=3，|\overrightarrow{b}|=4$；
即CA=3，CB=4；
如图，分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
C（0，0），A（0，3），B（4，0）；
∴直线AB的方程为：$y=-\frac{3}{4}（x-4）$；
∵CD为∠ACB的平分线；
∴直线CD的方程为：y=x，带入直线AB方程得，$x=\frac{12}{7}$；
∴$D（\frac{12}{7}，\frac{12}{7}）$；
E为CD中点，∴$E（\frac{6}{7}，\frac{6}{7}）$；
∴直线AE的方程为：$y=-\frac{5}{2}x+3$，令y=0得，x=$\frac{6}{5}$；
∴$F（\frac{6}{5}，0）$；
∴$\overrightarrow{AF}=（\frac{6}{5}，-3），\overrightarrow{CD}=（\frac{12}{7}，\frac{12}{7}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}=\frac{72}{35}-\frac{36}{7}=-\frac{108}{35}$．
故答案为：$-\frac{108}{35}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据两点坐标可求过这两点的直线方程，由两点坐标求直线的斜率，直线的点斜式方程，直线交点坐标的求法，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算．