Question

11．如图，已知菱形ABCD中，点P为线段CD上一点，且$\overrightarrow{CP}$=$λ\overrightarrow{CD}$（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）若λ=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{BC}$+y$\overrightarrow{BD}$，求x，y的值；
（Ⅱ）若BD=BC，且$\overrightarrow{BP}$$•\overrightarrow{CD}$≥$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PD}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BC}$，根据平面向量的基本定理列出方程组解出x，y；
（II）建立平面直角坐标系，求出$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CD}$的坐标，代入数量级公式列出不等式解出λ的范围．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$．
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{BC}$+y$\overrightarrow{BD}$=x$\overrightarrow{AD}$+y（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=-y$\overrightarrow{AB}$+（x+y）$\overrightarrow{AD}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-y=\frac{2}{3}}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
（II）以B为坐标原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，
∵BD=BC=CD，∴△BCD是等边三角形，
设AB=1，则B（0，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0），$\overrightarrow{PC}$=（λ，0），$\overrightarrow{PD}$=（λ-1，0）．
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CD}$=$λ-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=λ²-λ，
∵$\overrightarrow{BP}$$•\overrightarrow{CD}$≥$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PD}$，
∴$λ-\frac{1}{2}$≥λ²-λ．解得1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤λ≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0≤λ≤1，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤λ≤1．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量级运算，属于中档题．