Question

2．如图在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC边中点，线段CE、DF相交于点G，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AG}$=（　　）

• A． $\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{5}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 利用向量共线定理可得：$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AF}$+（1-y）$\overrightarrow{AD}$，又$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$．代入化简即可得出．

解答 解：利用向量共线定理可得：$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AE}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AF}$+（1-y）$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$．
∴x•$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+（1-x）•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$y•（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$+（1-y）$•\overrightarrow{b}$，
整理为：（2-x-2y）$\overrightarrow{a}$+（y-2x）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-x-2y=0}\\{y-2x=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{4}{5}$．
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{4}{5}\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．