Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-1（n∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{10}$对所有n∈N，都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）通过a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-1与a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1=a_n-1作差，进而计算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$（n∈N），利用累乘法计算可知数列{a_n}的通项公式；
（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而利用并项相消法可知T_n=$\frac{2n}{n+1}$，从而问题转化为数列{T_n}的最大值，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-1（n∈N），
∴当n≥2时，a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1=a_n-1，
两式相减得：$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
又∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$满足上式，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$（n∈N），
∴当n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•2•1
=n，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
∵$\frac{2n}{n+1}$随着n的增大而增大，
∴不等式T_n＜$\frac{m}{10}$对所有n∈N都成立?求数列{T_n}的最大值，
又∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2n}{n+1}$=2，
∴$\frac{m}{10}$≥2，即m≥20，
故满足题意的最小正整数m=20．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．