Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=BC=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M．
（2）求A₁B与CB₁所成角的余弦值．
（3）求点M到平面BNC的距离．

Answer 1

解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁C₁=B₁C₁
∵A₁M=B₁M∴C₁M⊥A₁B₁
又∵在直三棱柱中平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥A₁B
（2）延长AB至E，使BE=AB，连CE、B₁E
∵A₁B₁BE，∴A₁B₁EB为平行四边形，∴A₁BB₁E
∴∠CB₁E为A₁B与CB₁所成角或其补角
在△EBC中CE²=CB²+BE²-2CB•BEcos∠CBE=1+2-2×1××（）=5
在△EB₁C中CB₁=，B₁E=A₁B=，cos∠CB₁E===
∴A₁B与CB₁所成角的余弦值为
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A₁B的距离为h₁
∵V_M-NBC=V_C-MNB，∴S_△BNC×h=S_△BNM×h₁
∵CC₁∥平面A₁B，∴点C到平面A₁B的距离h₁等于C₁M
∴NC×BC×h=[AB×AA₁-（A₁M×A₁N+AN×AB+BB₁×B₁M）]×C₁M
∴××1×h=[×2-（×1+1×+2×）]×
∴点M到平面BNC的距离h=
分析：（1）要证C₁M⊥A₁B，可先证C₁M⊥平面AA₁B₁B，只需利用平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M⊥A₁B₁从而利用面面垂直的性质可得
（2）利用平行线，可得∠CB₁E为A₁B与CB₁所成角或其补角，解△EB₁C，即可求出异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A₁B的距离为h₁，利用V_M-NBC=V_C-MNB，转换底面，即可求解．
点评：本题以直三棱柱为依托，考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握直三棱柱的几何特征，结合已知中其它条件寻找判断线面垂直的相关条件是解答本题的关键．