Question

1．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ADF⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{5}$）
• B． （$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案

解答 解：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，
∵长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，
∴计算可得：AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KG=$\frac{1}{2}$，
∴t=AK=$\frac{1}{2}$
当F接近C点时，可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴$\frac{AG}{AD}=\frac{DG}{DC}=\frac{DA}{AC}$，
∴$\frac{AG}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，可解得AG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可得三角形AKG和三角形ABC相似．
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AK}{AB}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{t}{2}$，解得t=$\frac{2}{5}$，
∴t的取值范围是（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）．
故选：C．

点评 考查空间图形的想象能力，及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力．