Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列观点：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②由y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
④在同一坐标系中，函数y=4sin（2x+

π

3

）与y=8x+

4π

3

的图象有且仅有一个公共点；
其中正确的观点的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：①函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整数倍．
②利用诱导公式进行判断．
③由y=sinx的对称中心（kπ，0）（k为整数），即可判断．
④利用三角函数的图象和性质判断．

解答： 解：①因为函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整数倍．所以①错误．
②函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）=cos（

π

2

-2x-

π

3

）=4cos（2x-

π

6

），所以②正确．
③由y=sinx的对称中心（kπ，0）（k为整数）可知，函数y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，故③对；
④x=0时，y=4sin（2x+

π

3

）=2

3

，y=8x+

4π

3

=

4π

3

＞2

3

，所以函数y=4sin（2x+

π

3

）与y=8x+

4π

3

的图象有且仅有一个公共点，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．