Question

已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=2x+1对称，直线3x+4y+

19

5

=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：设圆心坐标C（a，b），由已知得a+2b=0，2a-b-3=0，由此求出圆心C的坐标为（

6

5

，-

3

5

），从而圆心C到直线AB的距离d=

| 18 5 - 12 5 + 19 5 |

9+16

=1，

1

2

|AB|=3，根据勾股定理，得r满足：r²=d²+（

1

2

|AB|）²=10，从而能求出圆C的方程．

解答： 解：设圆心坐标C（a，b），
由圆心C与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，
结合y=2x+1的斜率为2得直线CP的斜率为-

1

2

，
所以

1-b

-2-a

=-

1

2

，化简得a+2b=0①，
再由CP的中点在直线y=2x+1上，
得到

1+b

2

=（a-2）+1，化简得2a-b-3=0②
联解①②，解得a=

6

5

，b=-

3

5

，
∴圆心C的坐标为（

6

5

，-

3

5

），
∴圆心C到直线AB的距离d=

| 18 5 - 12 5 + 19 5 |

9+16

=1，
又∵

1

2

|AB|=3，
∴根据勾股定理，得r满足：r²=d²+（

1

2

|AB|）²=10，
因此，圆C的方程为（x-

6

5

^）2+（y+

3

5

）²=10．
故答案为：（x-

6

5

^）2+（y+

3

5

）²=10．

点评：本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．