Question

已知函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x+4
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值、最小值；
（Ⅲ）试说明函数f（x）怎样由函数g（x）=sinx变换得来．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再运用周期公式即可；
（Ⅱ）由正弦函数的最值，令2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，解出x，即得f（x）的最小值；令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，求出x，即得f（x）的最大值；
（Ⅲ）由三角函数的图象变换规律，可先左右平移变换，再周期变换，再振幅变换，最后上下平移变换，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x+4
=cos2x+sin2x+4=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）+4
=

2

sin（2x+

π

4

）+4．
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）令2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

，f（x）取最小值4-

2

；
令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

，f（x）取最大值4+

2

；
故当{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}时，f（x）最大值为

2

+4，
当{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}时，f（x）最小值为-

2

+4；
（Ⅲ）f（x）的图象是由y=sinx的图象先向左平移

π

4

个单位，接着横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），
再纵坐标变为原来的

2

倍（横坐标不变），最后向上平移4个单位而得．

点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，以及三角函数的周期性和最值，同时考查三角函数的图象变换，属于中档题．