Question

8．（1）用综合法证明：[sinθ（1+sinθ）+cos（1+cosθ）][$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1]=sin2θ；
（2）用证明：正数a，b，c满足a+b＜2c，求证：c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）运用平方差公式，以及二倍角公式，即可得到综合法的证明过程；
（2）利用分析法证明，将问题转化为证明|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，进一步转化为证明a+b＜2c即可．

解答 证明：（1）左边=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）
=（sinθ+cosθ）²-1…（4分）
=2sinθcosθ…（5分）
=sin2θ=右边
∴原等式成立．…（6分）
（2）欲证c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$…（1分）
只需证-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$ …（2分）
只需证|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$ …（3分）
只需证（a-c）²＜c²-ab …（4分）
只需证a²-2ac＜-ab …（5分）
只需证a（a+b）＜2ac，又a＞0…（6分）
只需证a+b＜2c …（7分）
∵a+b＜2c是题设条件，显然成立．
故c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$…（8分）

点评 本题考查综合法，考查三角函数知识，考查分析法的运用，掌握分析法的证题步骤、正确运用综合法是关键．