Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．
（Ⅱ）先对函数进行整理得到其单调性，再结合其为奇函数，即可把原不等式转化，从而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
f（x）=

-2x+1

2x+1+a

又由f（1）=-f（-1）⇒

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +a

1+a

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
又因f（x）是奇函数，从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或t＜-

1

3

；
故不等式的解集为：{ t|t＞1或t＜-

1

3

}．

点评：本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用．解决第二问的关键在于先得到函数的单调性．