Question

【题目】如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；

（2）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；

（3）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，求得λ的值．

（1）由题意知，椭圆离心率为=，

得，又2a+2c=，

所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，

所以椭圆的标准方程为；

所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），

因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

所以该双曲线的标准方程为．

（2）设点P（x0，y0），

则k1=，k2=，

∴k1k2==，

又点P（x0，y0）在双曲线上，

∴，即y02=x02﹣4，

∴k1k2==1．

（3）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立，

则由（2）知k1k2=1，

∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），

由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由韦达定理得，，

∴AB==，

同理可得CD===，

∵|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，

∴λ==﹣==，

∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立．