Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为A(-

7

7

a，0)，B(

7

7

a，0)(a＞0)，两动点M、N满足

MA

+

MB

+

MC

=

0

，|

NC

|=

7

|

NA

|=

7

|

NB

|，向量

MN

与

AB

共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求

PE

•

PF

的取值范围．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出点C的坐标，根据△ABC的重心的充要条件表示出点M的坐标，再根据点A和B坐标以及距离的关系求出点N的坐标，由两点之间的距离公式代入|

NC

|=

7

|

NA

|，进行化简求出点C的轨迹方程；
（2）由题意设出点E、F和直线的方程，联立直线方程和轨迹方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理列出两根和以及积的式子，由判别式的符号求出k²-3的范围，根据向量数量积的坐标运算列出

PE

•

PF

关于k的式子，根据求出的范围，即求出

PE

•

PF

的范围；
（3）设出Q的坐标并代入轨迹方程，由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值，根据点G和H坐标求出两个角的正切值，由两个角的范围和正切值进行判断是否成立．

解答：（1）设C（x，y），由

MA

+

MB

+

MC

=0知，
∴M是△ABC的重心，∴M(

x

3

，

y

3

)．
∵|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

与

AB

共线，∴N在边AB的中垂线上，
∵A(-

7

7

a，0)，B(

7

7

a，0)(a＞0)，∴N(0，

y

3

)，
又∵|

NC

|=

7

|

NA

|，∴x2+

4

9

y2=7(

a2

7

+

y2

9

)，化简得x2-

y2

3

=a2，
即所求的轨迹方程是x2-

y2

3

=a2．
（2）设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），过点P（0，a）的直线方程为y=kx+a，
代入x2-

y2

3

=a2得（3-k²）x²-2akx-4a²=0，
∴x1+x2=

2ak

3-k2

，x1x2=

-4a2

3-k2

，且△=4a²k²+16a²（3-k²）＞0，解得k²＜4．
∴k²-3＜1，则

4

k2-3

＞4或

4

k2-3

＜0，
∴

PE

•

PF

=(x1，y1-a)•(x2，y2-a)=x1x2+kx1•kx2=(1+k2)x1x2=

-4a2(1+k2)

3-k2

=4a2(1+

4

k2-3

)，
则

PE

•

PF

的取值范围是（-∞，4a²）∪（20a²，+∞）．
（3）设Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则

x

2 0

-

y 2 0

3

=a2，即y₀²=3（x₀²-a₀²）．
当QH⊥x轴时，x₀=2a，y₀=3a，∴∠QGH=

π

4

，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
当QH不垂直x轴时，tan∠QHG=-

y0

x0-2a

，tan∠QGH=

y0

x0+a

，
∴tan2∠QGH=

2tan∠QGH

1-tan2∠QGH

=

2y0 x0+a

1-( y0 x0+a )2

=-

y0

x0-2a

=tan∠QHG．
又2∠QGH与∠QHG同在(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)内，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．

点评：本题考查了轨迹方程的求法以及向量数量积的坐标，利用△ABC的重心的充要条件和距离公式求出轨迹方程，主要利用解析法中的设而不求思想，即根据题意列出方程组，根据韦达定理和判别式列出式子，把式子整体代入进行化简，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．