Question

3．动点M（x，y）满足$\sqrt{（x-sinα）^{2}+（y-cosα）^{2}}$=|xsinα+ycosα-1|（其中α实常数），那么点M的轨迹是过A且与l垂直的直线，其方程为 xcosα-ysinα=0．

Answer 1

分析 直线l：xsinα+ycosα-1=0是圆O在点A处的切线，$\sqrt{（x-sinα）^{2}+（y-cosα）^{2}}$表示M到A的距离|MA|，|xsinα+ycosα-1|=$\frac{|xsinα+ycosα-1|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$表示M到直线l的距离，即可求出点M的轨迹．

解答 解：设A（sinα，cosα）为圆O：x²+y²=1上一点，
直线l：xsinα+ycosα-1=0是圆O在点A处的切线，
$\sqrt{（x-sinα）^{2}+（y-cosα）^{2}}$表示M到A的距离|MA|，
|xsinα+ycosα-1|=$\frac{|xsinα+ycosα-1|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$表示M到直线l的距离，
∴到A的距离和到l的距离相等的点的轨迹为：过A且与l垂直的直线，其方程为 xcosα-ysinα=0．
故答案为：过A且与l垂直的直线，其方程为 xcosα-ysinα=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．