Question

14．在△ABC中，已知b=5，c=4$\sqrt{2}$，cos（C-B）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，则cosA=$\frac{8\sqrt{10}-7\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 如图所示：根据cosBcosC=$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$=$\frac{1}{2}$[cos（C-B）+cos（C+B）]=$\frac{1}{2}$[$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-cosA]，再由cosA=cosαcosβ-sinαsinβ═$\frac{{h}^{2}}{4\sqrt{10}}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-cosA），求得cosA=$\frac{{h}^{2}}{2\sqrt{10}}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．再根据cos（C-B）=cos（C-B）=cosCcosB+sinCsinB=$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$+$\frac{h}{5}$•$\frac{h}{4\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，以及 ${（4\sqrt{2}）}^{2}$-m²=5²-n² =h²，求得m和h²的值，可得cosA的值．

解答 解：在△ABC中，已知b=6，c=5，cos（C-B）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
作AD⊥BC，D为垂足．
设BD=m，CD=n，AD=h，∠BAD=α，∠CAD=β，如图所示：
则cosBcosC=$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$，
又cosBcosC=$\frac{1}{2}$[cos（C-B）+cos（C+B）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-cosA），
∴$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-cosA）．
∴cosA=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{h}{4\sqrt{2}}$•$\frac{h}{\sqrt{5}}$-$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$=$\frac{{h}^{2}}{4\sqrt{10}}$-$\frac{mn}{4\sqrt{10}}$=$\frac{{h}^{2}}{4\sqrt{10}}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-cosA），
∴cosA=$\frac{{h}^{2}}{2\sqrt{10}}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∵cos（C-B）=cosCcosB+sinCsinB=$\frac{m}{4\sqrt{2}}$•$\frac{n}{5}$+$\frac{h}{5}$•$\frac{h}{4\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，${（4\sqrt{2}）}^{2}$-m²=5²-n² =h²，
解得m=4，h²=16，∴cosA=$\frac{16}{2\sqrt{10}}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{8\sqrt{10}-7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式、直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．