Question

5．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数）有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 首先，将所给的曲线C的参数方程化为普通方程，然后，设出直线的方程，最后联立方程组，利用判别式，确定所求的取值范围即可．

解答 解：根据曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），得
$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∵经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l的方程为：
y-$\sqrt{2}$=kx，
∴y=kx+$\sqrt{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得
（1+4k²）x²+8$\sqrt{2}$kx+4=0，
∵直线l与曲线C有两个不同的交点，
∴△=128k²-4×4×（1+4k²）≥0，
∴k²≥$\frac{1}{4}$，
∴k≤-$\frac{1}{2}$或k$≥\frac{1}{2}$，
∴k∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．