Question

10．解不等式x⁶+x⁵+x³+x-1≤0．

Answer 1

分析 对应方程可化为（x³-$\frac{1}{{x}^{3}}$）+（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1=0，换元令x-$\frac{1}{x}$=t，解不等式可得t=x-$\frac{1}{x}$≤-1，再解关于x的不等式可得．

解答 解：研究方程x⁶+x⁵+x³+x-1=0的根的情况，
显然x=0不是方程的根，
故在方程x⁶+x⁵+x³+x-1=0的两边同除以x³，
则方程可化为（x³-$\frac{1}{{x}^{3}}$）+（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+1=0，
令x-$\frac{1}{x}$=t，则方程可化为t³+3t+t²+3=0，
因式分解可得（t+1）（t²+3）=0，
解得t=-1，故不等式的解集为t=x-$\frac{1}{x}$≤-1，
解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
∴原不等式的解集为{x|$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}

点评 本题考查高次不等式的解集，换元法是解决问题的关键，属中档题．